martes, 15 de septiembre de 2009

historia de las funciones

Historia de las funciones

La ilustración, el desarrollo de los métodos infinitesimales, las múltiples dificultades teóricas con las que se tuvieran que enfrentar tres generaciones de matemáticos, confirma el valor de las aportaciones que dieran lugar a una revolución científica radical en las matemáticas.
De ahí que Federico Engels observe:
“De todos los procesos teóricos ninguno representa verdaderamente un triunfo mayor del espíritu humano que la invención del cálculo infinitesimal de la segunda mitad del siglo XVII, no sería fácil encontrar en ningún lugar como aquí un acto tan puro y exclusivo del intelecto humano”.
Es por ello que es importante señalar que el cálculo infinitesimal abre un preámbulo para el desarrollo del concepto de funciones.
El origen histórico de la teoría de las series infinitas se ha de buscar en el problema de las como las cuadraturas. Aunque Wallis había podido resolver por inducción el problema de la cuadratura de toda ecuación o función parabólica y=x^m siendo “m” un numero entero fraccionario, racional o irracional, el caso excepcional de m=-1, era causa de continuos quebraderos de cabeza, faltaba encontrar la relación de función logarítmica.
En 1668 lord Brounker dio a conocer un desarrollo en serie ∫_0^1▒〖d/(1+x)=ln2=1/1.2+1/3.4+1/5.6+⋯〗
En el mismo año apareció un trabajo de Gregor en el que aborda la cuadratura del círculo y la hipérbola. En este trabajo aparecen por primera vez la palabra convergente y divergente. En el año de 1668 fue decisivo para la teoría de series infinitas, el comerciante Mercator publicó un libro con el título de logarithmotechnica, en la cual establece la relación de la relación de la función logarítmica cuadrada de la hipérbola.
Las publicaciones de Gregor, Brounker y Mercator sobre series logarítmicas impulso y con esto abrió un nuevo camino hacia el nuevo estudio del cálculo infinitesimal. La logarithmotechnica libero una reacción en cadena que después de varios años tendría por clímax la exposición de Newton de la teoría de las series ante la Royal Society.
Formación del concepto de función
Hasta cierto podría considerarse a las tablillas de cálculo de matemáticas babilónicas, también algunos desarrollos de la teoría de las cónicas de Apolonio, o las tablas astronómicas de Almagesto como etapas previas de la formación del concepto de función, al igual también entra de las mimas la teoría de las formas de Nicolás Oresame durante la edad media.
Tampoco debemos de dejar de tomar en cuenta los preámbulos del concepto real de función, la cual solo pudo acontecer solo tras el paso de las matemáticas de magnitudes considerables de forma parecida a una matemática de las variables. Esto es el lapso de tiempo entre los siglos XVI al XVII, en donde Vieta, Fermat y Descartes distinguieran de manera racional las magnitudes constantes y variables.
También el mismo nacimiento de la geometría analítica contribuyo directamente a la formación del concepto de función, es por esto que Engels comenta “el punto de inflexión de las matemáticas fue la magnitud variable de Descartes, con ello se inventaba el movimiento ya la dialéctica en las matemáticas y también con esto necesariamente el cálculo diferencial e integral que comenzaran inmediatamente de esto y culminaran Newton y Leibniz.
En descartes, estas variables solo aparecían como diríamos actualmente como ecuaciones algebraicas, pero posteriormente se impulso la concepción de magnitudes fluyentes, que complementaria, junto con el importante papel que los desarrollo de series de potencia, trasfondo para la formación de el concepto de función.
El uso de la palabra “función” proviene de el latín functio;funyo, functus, que significa algo así como llevar acabo o cumplir con una obligación la cual se debe a Leibniz. En tratados publicados por Leibniz entre 1662 y 1664 utilizaba la palabra funciones en un sentido amplio para designar cualquier clase de segmentos rectos que dependían de un punto fijo a un punto de una curva, para 1694 Jakob Bernoulli utilizaba el termino con el mismo sentido.
Una nueva etapa en la formación del concepto de función se llevo a cabo durante la correspondencia que se tenían Leibniz y Johan Bernoulli entre 1694 y 1698, Bernoulli de acuerdo con Leibniz hablaba de magnitudes que se construyen de alguna manera a partir de constantes e indeterminadas.
Una primera definición explicita del concepto de función en la cual se encuentran los diferentes aspectos de concepto de función, proviene de Johan Bernoulli en el 1718 la cual dice:
“se llama función de una magnitud variable a una magnitud, que de alguna manera se compone de otra misma magnitud variable de constantes”
En el mismo texto se encuentra la utilización de la letra “φ” como signo de función que se trataba de una función variable de “x”, Johan escribía “φx” el uso de “f(x)” se lo debemos a Euler.
Esta misma concepción de lo que ahora conocemos como función, parece haber sido expresado en un libro famoso de Euler llamado “introductio in analysim infinitum”, en donde se define con mucha mayor precisión el concepto de función introducido por Bernoulli.
“una función de una magnitud variable es una expresión continua de alguna manera con esta misma magnitud variable y con números o magnitudes constantes”
Previamente a esta definición, Euler había tratado dar el concepto de variable.
“Una magnitud variable es una magnitud general o indeterminada que incluye a todos los valores posibles, tanto positivos como negativos, enteros, fraccionarios, racionales, irracionales y trascendentes, ni si quiera el cero y ni los números imaginarios se pueden excluir de la misma”

A continuacion les hablaremos acerca de la historia del CALCULO DIFERENCIAL:

BREVE BOSQUEJO HISTÓRICO DEL CALCULO DIFERENCIAL Y DEL CALCULO INTEGRAL

Fueron como suele decirse, Isaac Newton y Godofredo Guillermo Leibniz los descubridores del calculo integral. Sin embargo otros matemáticos habían echo trabajos de importancia relacionados con esas ramas de las matemáticas: Blas Pascal y Pedro de Fermat entre otros. Este ultimo, apoyo mas aun con su método “Maximis et minimis”, casi había logrado llegar al calculo diferencial, tanto que Lagrange no tiene reparto en considerar a Fermat como “el primer inventor del nuevo calculo”.









ISAAC NEWTON LEIBNIZ

La opinión de Lagrange relativa a la influencia de Fermat sobre Leibniz en la invención del Calculo Diferencial, parece tener confirmación hasta en el titulo mismo del informe en el que Leibniz expone sus principios: Nova methodus por maximis et minimis, fue su trabajo publicado en 1684.
Menos precursores de Leibniz y Newton se hallan en los dominios del calculo diferencial a diferencia del integral. Sin embargo en esta gran historia podemos citar a Nicolas Oresme, obispo de Lisieux, que sito que en la proximidad de un punto de una curva en que la ordenada es máxima o mínima, es donde dicha ordenada varia mas lentamente; Juan Kepler que probablemente ignoraba lo escrito asienta la misma afirmación.
Los trabajos de Newton relativos del calculo son anteriores a los de Leibniz, pero el primero no publico nada en el principio, solo se limitaba a exponer en sus cátedras los descubrimientos que había echo; no así el segundo, que les dio luego publicidad empleando una notación distinta de la de Newton.
A lo largo del desarrollo del calculo la disputa se tomaba entre Leibniz y Newton, este ultimo confesaba los derechos que tenia Leibniz en el descubrimiento del calculo Diferencial. Durante mas de quince años Leibniz desarrollo su método sin que nadie dejara traslucir la menor duda acerca de sus derechos relativos al descubrimiento.
Numerosos científicos matemáticos completaron la obra iniciada por Newton y por Leibniz. Entre ellos podemos citar a Jacobo Bernoulli, este escribió una carta a Leibniz pidiendo que por favor le ayudara a comprender el nuevo Calculo, pero debido a que este se encontraba de viaje la carta demoro en llegar por lo cual Bernoulli se adentro a la investigación del calculo Diferencial tanto el como su hermano Juan demostraron tener madera de investigadores matemáticos por lo cual declararon que la ciencia de Leibniz era tanto de el como de ellos.
Pero sin duda alguna el barón Agustín Luis de Cauchy uno de los matemáticos mas renombrados del Calculo Diferencial e Integral fue el primero que demostró de forma rigurosa y plenamente satisfactoria, recurriendo al método de los limites, la consistencia de sus principios fundamentales.
Como a lo largo de este curso se dieron a bien saber muchos temas relacionados arduamente con el Calculo Diferencial e Integral; aquí se hacen mención algunos de los que fueron:
La palabra funciona se debe a Jacobo Bernoulli, la notación f(x) fue introducida por Leonardo Euler y a Cauchy se debe la definición de funcion de función y la de función compuesta.
Los orígenes de la notación de limites son remotos; esa notación se presento en la mente de los matemáticos griegos,, aunque estos no le dieron una formulación completa. La idea moderna del concepto de limite se deriva especialmente de John Wallis, fue el primero en dar una definición de este tema.

CALCULO

Como bien sabemos para comenzar a hablar acerca del tema de derivadas e integrales debemos introducirnos primero al tema de calculo:
Cálculo, rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximo y mínimo de funciones y de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingeniería, siempre que haya cantidades que varíen de forma continua.
El cálculo se deriva de la antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos, se cree que considerándolos formados por un número infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño), y Eudoxo y Arquímedes utilizaron el "método de agotamiento" para encontrar el área de un círculo con la exactitud requerida mediante el uso de polígonos inscritos. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo. En el siglo XVII, Francesco B. Cavalieri y Evangelista Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, y Descartes y Pierre de Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes (integración y diferenciación en términos modernos). Fermat e Isaac Barrow tenían la certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron Isaac Newton (hacia 1660) y Gottfried W. Leibniz (hacia 1670) quienes demostraron que son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo. El descubrimiento de Newton, a partir de su teoría de la gravedad, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicación aún provoca disputas sobre quién fue el primero. Sin embargo, terminó por adoptarse la notación de Leibniz.

En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número de aplicaciones del cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así como la intuición geométrica, causaban todavía confusión y controversia sobre sus fundamentos. Uno de sus críticos más notables fue el filósofo irlandés George Berkeley. En el siglo XIX los analistas matemáticos sustituyeron esas vaguedades por fundamentos sólidos basados en cantidades finitas: Bernhard Bolzano y Agustín Louis Cauchy definieron con precisión los límites y las derivadas; Cauchy y Bernhard Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Julius Dedekind y Karl Weierstrass con los números reales. Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciales son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los recíprocos son falsos. En el siglo XX, el análisis no convencional, legitimó el uso de los infinitesimales. Al mismo tiempo, la aparición de los ordenadores o computadoras ha incrementado las aplicaciones del cálculo.




CALCULO DIFERENCIAL

El cálculo diferencial estudia los incrementos en las variables. Sean x e y dos variables relacionadas por la ecuación y = f(x), en donde la función f expresa la dependencia del valor de y con los valores de x.
Así, se define la derivada f′(x0) de la función y = f(x) en x0 como el límite que toma k/h cuando h tiende hacia cero, lo que se escribe:

Este valor representa la magnitud de la variación de y la pendiente de la curva en A. Cuando, por ejemplo, x es el tiempo e y es la distancia, la derivada representa la velocidad instantánea. Valores positivos, negativos y nulos de f′(x0) indican que f(x) crece, decrece o es estacionaria respectivamente en x0. La derivada de una función es a su vez otra función f′(x) de x, que a veces se escribe como dy/dx, df/dx o Df. Por ejemplo, si y = f(x) = x2 (parábola), entonces por lo que k/h = 2x0 + h, que tiende hacia 2x0 cuando h tiende hacia 0. La pendiente de la curva cuando x = x0 es por tanto 2x0, y la derivada de f(x) = x2 es f′(x) = 2x. De manera similar, la derivada de xm es mxm-1 para una m constante. Las derivadas de las funciones más corrientes son bien conocidas


Diferenciación es el proceso de calcular derivadas. Si una función f se forma al combinar dos funciones u y v, su derivada f′ se puede obtener a partir de u, v y sus respectivas derivadas utilizando reglas sencillas. Por ejemplo, la derivada de la suma es la suma de las derivadas, es decir, si f = u + v (lo que significa que f(x) = u(x) + v(x) para todas las x) entonces f′ = u′ + v′. Una regla similar se aplica para la diferencia: (u - v)′ = u′ - v′. Si una función se multiplica por una constante, su derivada queda multiplicada por dicha constante, es decir, (cu)′ = cu′ para cualquier constante c. Las reglas para productos y cocientes son más complicadas: si f = uv entonces f′ = uv′ + u′v, y si f = u/v entonces f′ = (u′v-uv′)/v2 siempre que v(x) ≠ 0. Utilizando estas reglas se pueden derivar funciones complicadas; por ejemplo, las derivadas de x2 y x5 son 2x y 5x4, por lo que la derivada de la función 3x2 - 4x5 es (3x2 - 4x5)′ = (3x2)′ - (4x5)′ = 3·(x2)′ - 4·(x5)′ = 3·(2x) - 4·(5 x4) = 6x - 20x4. En general, la derivada de un polinomio cualquiera f(x) = a0 + a1x + ... + anxn es f′(x) = a1 + 2a2x + ... + nanxn-1; como caso particular, la derivada de una función constante es 0.

calculo integral

Su descubimiento fue desde epocas muy remotas donde Arquimides espezria a calular volumenes pero tiempo despues aparaceria Platon quien diria que para que se descubriera el calculo habria que corregir varias cosas como el hecho de que habia una mala numeracion y faltaba de descubrir algunos campos de el algebra entonces hubo mucho retaso para este ambito edel calculo.pero entoces apareceria Aristoteles quien emplearia el calculo integral pero su metodo no fue seguido por que se saltaba la regla del infinito por lo que no tuvo una gan aportacion para el calculo . se tuvo que esperar mucho tiempo para que Leibnitz y newton explicaran todo lo que anteriormente habian dejado sus antecesores pero aun asi los relatos dejados de leibniz y Newton no tendrain ejemplos algunos pero entonces.

J. Bernoulli empezo con el manejo del calculo intgral y fue quien escribio el primer curso de calculo integral

J. bernoulli nacio en suiza era hijo de padres importantes estos lo obligaron a estudiar filosofia y teologia en la universidad a el no le parecio no era extraño que en su familia pasaran cosas de este tipo ya que la mayoria de los integrntes estudaban carreras que no querian.durnate este periodo tambien estudi matematicas y astronomia ,contra la voluntad de sus padres ,era el primero que hacia esto y asi mismo se le unio algunos de sus familiares. al terminar los estudios de teologia bernouli viajo a varias partes donde se dedicaria a estar de tutor y tambien donde se encontraria con otros matematicos asi continuo sus estudios .tiempo despues regreso a su ciudad natal donde fue nombrado maestro de matemeticas ,ya que era su gran pasion ,no pudo unirse a la iglesi como se le esperaba .

empezo a enseñarle matematicas a su hermano mas pequeño.este se le uniria a estudiarlas con las bases que tenia leibniz ya que para sus tiempos las matematicas que presentaba este eran un poco complicadas ,los hermanos bernoulli fueron los primeros en intentar decifrarlas . empezaron a tener conflictos el y su hermano ya que ambos empezaban a dar buenas a portaciones a la matematicas ante esto jacob empezo a desprestigiar a su hermno .

jacob siguio con sus estudios con lo que habia hecho leibniz escribio varios libro el ultimo aunque no se habia terminado fue el mas importante ya que empezo a ocupar el clculo integral ,murio en 1705 dejando a su hermano acargo de la ctedra de matematicas.

siguien do el estuio del calculo deiferncial estaba leohand euler quie nacio en 1707 qien estudiaria matemeticas con el hermano de jacob bernoulli se graduaria a los 16 años . cuando le pedia la Emperatriz Catalina I le pediria que fuera parte del profesorado de la academia de ciencias de San Petersburgo .Euler estudia el caculo integral con el libro que dejo escrito Bernoulli .llegria a resolverlo hasta donde lo conocemos ahora

jueves, 20 de agosto de 2009

HISTORIA DE LAS FUNCIONES( NEWTON VS. LEIBNIZ)

HISTORIA DE LAS FUNCIONES

En la historia de las matemáticas se le dan créditos al matemático suizo Leonhard Euler(1707-1783) por precisar el concepto de función, así como por realizar un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales.
Fue uno de los matemáticos más prolíferos de todos los tiempos, pues escribió tratados sobre todas las ramas de esta ciencia, publicando más de 500 libros y artículos, que repartidas durante toda su vida dan un promedio de 800 páginas anuales. Perdió la vista en un ojo en 1735 y del otro en 1766. Aplicó sus matemáticas a la astronomía, deduciendo la naturaleza de algunas de las perturbaciones y siendo a este respecto el precursor de Laplace y Lagrange. Empezó a sustituir los métodos geométricos de comprobación que utilizaron Galileo y Newton por otros algebraicos y esta tendencia fue llevada a su extremo por Lagrange.

Antes de Euler, el matemático y filosofo francés René Descartes (1596-1650) mostró en sus trabajos de geometría que tenía una idea muy clara de los conceptos de ``variable'' y ``función'', realizando una clasificación de las curvas algebraicas según sus grados, reconociendo que los puntos de intersección de dos curvas se obtienen resolviendo, en forma simultanea, las ecuaciones que las representan.

El cálculo, en donde primero se enseñan funciones, luego límites y finalmente derivadas o integrales. En la obra Introductor in Analysi Infinitorum, Leonhard Euler intenta por primera vez dar una definición formal del concepto de función al afirmar que: ``Una función de cantidad variable es una expresión analítica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y por números ó cantidades constantes''. como puede observarse, esta definición difiere de la que actualmente se conoce, pues siete años después, en el prólogo de las Instituciones, calculo diferencial, afirmó: ''Algunas cantidades en verdad dependen de otras, si al ser combinadas las ultimas las primeras también sufren cambio, y entonces las primeras se llaman funciones de las últimas. Una cantidad puede ser determinada por otras, así si x denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de x en cualquier forma están determinadas por x y se les llama funciones de x''.

LEIBNIZ
Gottfried Wilhelm von Leibniz ( Leibnitz) dio un importante paso, más allá de sus precursores, en cálculo mecanizado..
VIAJO A PARIS EN 1672 PARA REGRESAR EN 1676 estudió matemáticas y física. Fue durante este periodo que las características fundamentales del cálculo fueron desarrolladas.
los esfuerzos de Leibniz fuero más allá. Él consideraba que “el trabajo de cálculo, es indigno de hombres excelentes que pierden horas como esclavos y que seguramente podría ser relegado a alguien más común si las máquinas fueran usadas."
Leibniz entabla contacto con los mayores intelectuales de la época, Huyghens, Arnauld, Malebranche y Mariotte, entre otros. De cada uno obtendrá un aporte decisivo, sea en el campo de la óptica física, en el de la tecnología u obrando simplemente como un interlocutor privilegiado, aquel que sabrá luego integrar todos estos aspectos en un único y genial descubrimiento: el cálculo infinitesimal
Leibniz desarrolló las ideas de Pascal y, en 1671, introdujo el Paso Reckoner, un artefacto que, así como sumaba y restaba, podía multiplicar, dividir, y sacar raíces cuadradas a través de una serie de pasos adicionales. Se trató de un dispositivo que puede ser considerado como el antepasado de los actuales computadores de escritorio. Sus derivaciones siguieron siendo producidas hasta que sus equivalentes electrónicos se hicieron de fácil acceso en los inicios de los años 1970.
El 21 de noviembre de 1675 escribió un manuscrito usando por primera vez la notación de la integral ò f(x)*d(x). En el mismo manuscrito estaba dada la regla para la diferenciación. Esa regla fue dada a conocer dos años después, en julio de 1677.
Máquina de calcular de Leibniz (1694). Estaba inspirada en la Pascaline. Incorporaba innovaciones mecánicas como el tambor de dientes desiguales que permitía multiplicar un número por rotaciones repetidas de la manivela principal.
El primer matemático que sistemáticamente utilizó el código binario (expresar cualquier número como una combinación de unos y ceros), fue Gottfried Wilhelm Leibniz, hace cerca de 3 siglos.


----El descubrimiento del cálculo. (NEWTON VS. LEIBNIZ)----
(OSCAR G.P.)